HOŞGELDİNİZ

.
Matematik entellektüel bir yogadır. Özveri, güç ve kararlılık ister...
Google Gruplar
Matematikce08 grubuna kayıt ol
E-posta:
Bu grubu ziyaret et

Matematik Videoları

Loading...

süper lig puan durumu

30 Ocak 2008 Çarşamba

Verimli Ders Çalışma

Verimli Ders Çalışma
Verimli çalışmak; zamanınızı hedefleriniz doğrultusunda etkili bir şekilde kullanmaktır. Verimli çalışmak sadece ders çalışmak değildir, verimli çalışmayı öğrenmiş bir kişi oyun oynamaya, faklı faaliyetlere ve arkadaşlarına zaman ayırabilecektir. Başarılı insanlar, hedeflerine belirledikleri bir süre içinde ulaşmış insanlardır diyebiliriz. Başarılı olabilmek için , eğer ders çalışacaksanız derse ilişkin hedefinizi ortaya koyun ve bu hedef için süre belirleyin. Başaracağınıza inanırsanız yolu yarılamışsınız demektir, eğer başaramayacağınızı düşünüyorsanız daha çalışmaya başlamadan kaybettiniz demektir. Kendinize güvenin ve işe koyulun.Meşhur bir söz var “Sadece oturarak başarıya ulaşan tek yaratık vardır, oda tavuk”Evet çalışmaya hazır mısınız?Bu aşamada şunları öğreneceksiniz;Kendinizi psikolojik olarak hazırlayın;Hangi dersi, o dersin hangi konusunu ne derece öğrenmeniz gerektiğini düşünün. Çalışacağınız kaynağın ilgili konularına baştan sona göz atın ne kadar sürede bitirebileceğinize karar verin. Konuyu çalışıp tam anlamıyla öğrendiğinizde, sizi bekleyen olumlu durumları hayal edin, “Sınavdan yüksek not alırsam çok mutlu olurum” gibi.
Çalışma esnasında hayallere yada iç konuşmalara daldığınızı hissederseniz bundan vaz geçmeye çalışın. Tekrar hayalinize dalıyorsanız hayalinizi düşünmeye devam edin ve bitirin, aksi takdirde sizi tekrar rahatsız edebilir.Bu arada verimli çalışmak için bedeninizi de hazırlamalısınız;Önemli bir dersi çalışacaksanız yada sınavınız varsa yeterince dinlenmiş olmalısınız. Yeterince dinlenmiş olmanız kafi derecede uyumak ve yorucu bedensel faaliyetlerden uzak kalmanıza bağlıdır. Fiziksel yorgunluk ders çalışmanızı olumsuz olarak etkileyecektir, diyelim ki bir futbol maçı yaptınız maçtan sonra ders çalışmaya başlarsanız uykunuz gelecek ve gereğince çalışamayacaksınız.
O halde ya maçı erteleyin yada sınavı. Tabi birincisini ertelemek daha kolay. Eğer akşam çalışacaksanız gün içerisindeki 40-50 dakikalık uyku sizi dinlendirecektir. Asla yatarak veya masaya uzanarak çalışmayın çünkü bu duruş uykunuzu getirecektir. Ortamdaki lamba gözünüze direkt gelmemeli onun yerine ışığı arkanıza alacak şekilde oturun.Çalışma ortamınızı uygun şekilde düzenleyin;Çevrenizde dikkatinizi dağıtacak nesneleri, poster ve resimleri kaldırın. Televizyonun bulunduğu odada çalışmayın, çünkü ses dikkatinizi dağıtacaktır. Masanızı bir çalışma masası gibi düzenleyin gereksiz şeylerden kurtulun.
Çalışma ortamınızı değiştirmemeye özen gösterin çünkü sürekli aynı ortamda çalışmak bir süre sonra şartlı reflekse dönüşür ve çabuk konsantre olmanızı sağlar.Kendinize bir çalışma programı oluşturun. Çalışma süresi olarak şu formülü kullanmanız uzmanlar tarafından önerilir.40 dakika çalışma + 5 dakika tekrar + 10 dakika dinlenmeÇalışmanızın kalıcılığını sağlayacak en önemli faktör tekrardır. Tekrar için tavsiye edilen en iyi yöntem; İlk tekrar 40 dakikalık bir öğrenme seansının sonunda yapılmalı ve 10 dakika sürmelidir. Bu tekrar hatırlanan miktarın bir gün daha aynı düzeyde kalmasını sağlar. 2-4 dakika sürecek ikinci tekrar 24 saat sonra yapılmalıdır. Bundan sora bilgi hafızada bir hafta kadar saklanır.
Bir hafta sonra yine 2-4 dakika sürecek üçüncü tekrar yapılmalıdır. Dördüncü tekrar; bir ay sonra 2-4 dakikalık bir süreyle yapıldıktan sonra, bilgiler uzun süreli hafızaya geçer, ve son derece kuvvetli bir biçimde yerleştirilmiş olur.Bunun dışında yatmadan önce çalıştığınız konunun tekrarını yaparsanız öğrendikleriniz büyük ölçüde hafızanıza yerleşir.

Matematik korkusu (fobisi)


Matematik kimimiz için çok zevkli bir ders olmasına karşın, kimimiz için bir kabus gibidir. Matematik kimileri için günlük ve mesleki hayatının parçası iken, kimileri için bir sürü gereksiz formül ve işlemden oluşan bir derstir. (Yaşamımızdaki matematiği anlatmaya çalıştığım yazıları, “Hayatımız Matematik” başlığıyla yayınlıyorum.)
Matematik kaygısı yaşayan öğrencilerin söylemleri şunlar olabilir;Matematik sınavı beni çok heyecanlandırıyor.Öğretmen bana soru soracak diye ödüm kopuyor.Matematik dersine girmek istemiyorum.Okulun başında konuları anlıyorum, ama sonra yapamıyorum.Ne yapacağım bilmiyorum, matematik dersinden kalmak istemiyorum.Bu ve benzeri düşüncelere sahipseniz, matematik korkusu yaşıyor olabilirsiniz.Şunu belirtmek gerekir ki matematik korkusu yaşayan bireyler, sadece Türkiye'de değil diğer ülkelerde de vardır. Ülkemizdeki nedenler farklı olabilir.
Matematiğe yönelik kaygı ve korkunun çeşitli nedenleri olabilir. Bunlar çevreden, okul ve bireyin kendisinden kaynaklanabilir.Biliyoruz ki ülkemizde bireyin geleceği sınavlarla belirlenir. Matematik sorularının daha az çözülebilmesinden dolayı, sınavlarda matematik soruları belirleyicidir. Bu durum matematik dersindeki başarısı yönünden zayıf olan bir öğrencide derse karşı kaygı oluşmasına neden olur.Aile ve sosyal çevre de gelecek kaygısını, dolayısı ile matematik dersine duyulan kaygıyı körükler. Hep tanık olmuşuzdur, eve gelen misafir evin öğrenim gören ferdine ilk önce sorduğu şey matematik dersidir. Bu dersten başarılıysa öğrencinin başı okşanır, değilse pek onaylanmaz ve daha çok çalışması vurgulanır. Bu durum dersin gereğinden fazla önemsenmesine neden olur.
Okullarda ise ilköğretimin birinci kademesinde somut işlemler dönemindeki öğrencinin, soyut kavramlarla karşılaşması onun konuları kavramasını zorlaştırır. Bu bakımdan soyut konuların yeterince somutlaştırılmaması, öğrencinin konu hakkındaki öğrenmişliğinin bilgi düzeyinde kalmasına, kavrama ve uygulama düzeyine ulaşamamasına neden olacaktır. Bununla birliktede öğrenci, zihin yapısı içinde problem çözme becerisini geliştiremeyecektir. Nitekim öğrenci zorlu matematik konularına korku ile yaklaşacaktır.Bunların dışında öğrencinin öğretmenine karşı çeşitli nedenlerle olumsuz tutum geliştirmesi dersten kopmalara neden olur. Bununla beraber başarının düşmesine de neden olabilir.
Başarının düşmesi ise kaygıyı artıracaktır.Korkunun sebepleri ortadan kaldırılırsa korkunun önüne de geçilebilir.Matematik korkusundan nasıl kurtulabilirsiniz?Matematik dersine verimli çalışma yollarını aramalısınız. (Yakında yayınlayacağım)Olumsuz düşüncelere ve iç konuşmalardan kurtulmalısınız. (Başaramayacağınız düşüncesinden kurtulmalısınız.)Gerçekleştireceğiniz başarılar, matematiğe yönelik olumsuz deneyimlerinizin izlerini ortadan kaldıracaktır.Öğretmenler dersi sevdirebilecek etkinlikler düzenlemelidir. Farklı anlatım yöntem ve teknikleri ile oyunlar ve bulmacalarla eğlenceli bir sınıf ortamı oluşturabilir.
Öğrencinin üzerinde olumsuz tutum sergilemesine yol açabilecek davranışlardan sakınmalıdır.Aileler öğrencinin kaygısını körükleyecek söylemleri bırakmalı ve ona destek olacak söylemleri kullanmalıdır. Onun matematik dersinden başarılı olabileceğini belirtmelidir.

Matematik Fıkraları


TEZ DANIŞMANI
Bay Tilki bir gün ormanda dolaşırken Bay Tavşan’a rastladı. Bay Tavşan bir şeyler yazmakla meşguldü.- Kolay gelsin, Bay Tavşan. Ne yazıyorsuunuz?- Doktora tezimin 1. bölümünü yazıyorum..- 1. bölümde teziniz ne?- Tavşanlar tilkileri nasıl parçalar? - Yapmayın! Bu hiç de doğru değil. Bu biir bilim adamına yakışmayacak ciddiyetsizlik. Teziniz kökten yanlış.- Yaa..! Öyle mi? dedi Bay Tavşan, ‘Pekii, gel de deneysel kanıtı gör öyleyse.’Bay Tavşan önde Bay Tilki arkada çalılığın arkasına doğru ilerlediler. Bir süre sonra Bay Tavşan yüzünde gülümsemeyle çalılıktan çıkıp geldi ve yerine oturarak yazmaya devam etti.Bir zaman geçti. Bay Kurt’un yolu Bay Tavşan’ın bulunduğu yere düştü. Bay Kurt sordu:- Kolay gelsin, Bay Tavşan. Ne yazıyorsuunuz?- Doktora tezimin 2. bölümünü yazıyorum..- 2. bölümde teziniz ne?
UNUTKANLIK
Bir bilim adaminin deney raporlarindan:1. gun : Fare uzun sure labirentin icinde dolandi ama peyniri bulamadi. Icguduleri zayif.3. gun : Negatif. Sadece labirenti degil, odanin hemen her yerini aradi; tum dolaplari, cekmeceleri, kavanozlari karistirdi. Hatta bir tablonun arkasina ve ceplerime bile bakti. Bu fare tam bir salak.7. gun : En ufak bir ilerleme yok. Artik arama istegini bile kaybetti, telefonla kosedeki bufeden iki karisik tost, bir ayran istemis. Zekadan boylesine yoksun olusu deneylerimde yol almami onluyor.18. gun : Zamanla becerilerini gelistirmesi lazimdi,ama sifir! Bursa’dan aradi, ‘kaygilanmamami, peyniri bulacagini’ soyledi. Ona gittikce peynirden uzaklastigini anlatmaya calistim, ama dinlemedi. Ciddi zeka problemi!74. gun : Umutsuzluga kapiliyorum; fare, henuz bir zeka belirtisi gosteremedi. En son Tibet’ten aradi, hayatin anlami gibisinden birsey buldugunu soyledi. Ama peyniri bulamamis ve artik umrunda da degilmis. Aptal hayvan!
MATEMATİK FİNALİ
4 tane üniversite öğrencisi, uyanamadıkları için matematikfinaline geç kalırlar ve okula gidince hocaya arabalarının lastiğininpatladığını söylerler… Hoca ilk basta inanmaz ama öğrencilerininyalvarmalarına dayanamayarak, onları 3 gün sonra sınav yapacağını söyler.Sınav günü gelince hoca, 4 öğrencinin hepsini bos bir salonun ayrı ayrıköşelerine oturtur.Sınav geçme sistemi şöyledir: 100 üzerinden 50 puan alan herkessınavı geçebilir… Hocanın hazırladığı sınavda ise ön sayfada 10′arpuanlık 4 tane basit matematik sorusu vardır… Bunları kolayca çözerler.Arka sayfada ise 60 puanlık 1 soru vardır: “Hangi lastikpatladı?
MATEMATİK
İki Matematikçi, aralarinda mesleklerinin ne kadar önemli olduğunu konusuyorlar. Sonra içlerinden biri diğerine dert yaniyor:“Ah azizim ah! Matematiğe yeterince önem verilmiyor. Aslında konuya devlet el atmalı ve Matematik bilmeyenlerden vergi toplanmalı.Diğeri cevap veriyor:“Sayısal Loto da bu ise yarıyor zaten''
MATEMATİK
Emekli öğretmen yolda giderken, yanına son model bir araba durmuş. İçinden çıkan bir genç:- Hocam sizi gideceğiniz yere kadar götüüreyim.Öğretmen genci tanımamış. Genç:‘Benim hocam Hacıbekir, tanımadın mı? Kayseri Lisesinden’Öğretmen biraz hafızasını yoklayınca genci tanımış.- Lan oğlum Hacıbekir seni tanıdım ama, bu ne zenginlik, sen fakir bir öğrenciydin.Hacıbekir anlatır:-Öyleydim hocam ama, okuldan sonra ticarrete başladım. Kısa zamanda biraz para kazandık.Bunu duyan öğretmen iyice şaşırır:- Lan oğlum ticaret hesap işidir. Ben seni matematikten sınıfta bırakmamışmıydım. Sen sanıl ticaret yapıyorsun?- Valla hocam matematik falan bilmem. (11)’e alıp (4)’e satıyorum. Aradaki %3′le de geçinip gidiyoruz.
MISIR
Delinin biri kendini mısır zannediyormuş.Uzun süre tedavi gördükten sonra doktor iyileştiğine karar vermiş ve taburcu etmiş.Deli tam hastanenin kapısından çıkarken kapının önünde bir tavuk görür ve koşarak doktorun yanına gider.Doktora “kapının önünde tavuk var doktor bey” .Doktor;” ama biz sana mısır olmadığını söylemiştik ve sende artık mısır olmadığını öğrenmiştin” der. Deli “tamam doktor bey ben mısır olmadığımı biliyorum ama tavuk biliyor mu? .
SAYISAL LOTO
İki matematikçi aralarında mesleklerinin ne kadar önemli olduğunu konuşuyorlar. Sonra içlerinden biri diğerine dert yanıyor.-“Ah azizim ah! Matematiğe yeterince önem verilmiyor. Aslında devlet bu işe el atmalı, matematik bilmeyenlerden vergi toplamalı”Diğeri cevap veriyor:“Sayısal Loto da bu işe yarıyor zaten.” .
TASAVVUR
Bir Matematikçi ve bir Mühendis, ünlü bir Fizikçi’ nin seminerine katılırlar. Seminer 9 boyutlu uzayda cereyan eden bir takım işlemler içermektedir. Matematikçi’ nin seminerden oldukça keyif alır görünmesine karşın, Mühendis çok zorlanmaktadır. Başı çatlayacak derecede ağrımaya başlayınca dayanamayıp sorar:- Bu garip ve zor şeyleri nasıl anlayabiliyorsun?Matematikçi gayet sakin cevap verir;- Sadece olayı tasavvur ediyorum.- 9 boyutlu bir uzayı nasıl tasavvur edebilirsin ki?- Aslında çok kolay. Sadece n boyutlu bir uzay tasavvur ediyorum. Daha sonra n ‘i 9 ‘a götürüyorum.
UÇAK YOLCULUĞU
İki Matematikçi bir uçak seyahatine başlarlar. Havalandıktan bir saat sonra bir anons duyulur;- Sayın yolcularımız. Uçağımızın dört motorundan biri arızalanmıştır. Endişe etmeyiniz. Üçmotorla uçuşu tamamlayabiliriz. Fakat beş saat sürecek yolculuğumuz yedi saate uzamıştır.Yola devam ederler. Kısa bir süre sonra yeni bir anons duyulur;- Sayın yolcularımız. Uçağımızın sağlam olan üç motorundan biri arızalanmıştır. Endişeetmeyiniz. İki motorla uçuşu tamamlayabiliriz. Fakat yolculuğumuz on saate uzamıştır.Derken az bir vakit sonra üçüncü anons duyulur;- Sayın yolcularımız. Motorlarımızdan biri daha arızalanmıştır. Fakat paniğe kapılmayınız.Tek motorla da uçuşu tamamlayabiliriz. Ancak yolculuğumuz on sekiz saate uzamıştır.Bu son anons üzerine Matematikçilerden biri şöyle der;- Umarım bu son motor da arızalanmaz. Yoksa sonsuza kadar burada kalacağız…
FONKSİYONLAR
Fonksiyonlar bir gün bir seminer tertiplemişler. Seminere birkaç fonksiyon katılmış. Her fonksiyon özellikleri hakkında bilgiler vermeye başlamış. Derken içlerinden biri kapıya bakarak aniden bağırmış “Dikkat türev geliyor!”. Hepsi apar topar kaçmaya başlamışlar. Ancak ex hiç istifini bozmamış. Türev ağır adımlarla içeri girmiş ve tek başına oturan fonksiyonu görüp “sen benden korkmuyor musun?” demiş. Hayır, ben ex im diye yanıtlamış kendine güvenen bir edayla. “Yaa” demiş türev. “Peki, sana benim x’e göre türev alacağımı kim söyledi?”HERŞEY
AYNI RENKTEDİR
Teorem: Herşey aynı renktedir. İspat: Bir önceki teorem kullanılarak denebilir ki: “Her x için, eğer x bir atsa, x aynı renktedir”. Burada kullanılan “x bir atsa” ifadesi herşey için kullanılabileceğinden herşey aynı renktedir. /matklu.gop.edu.tr/TÜREVGünün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuş, sıfıra ne kadar hızla yakınsadıkları gibi konular üzerinde tartışıyorlarmış. Derken içlerinden biri kapıya bakarak aniden bağırmış “Dikkat türev geliyor!”. Hepsi apar topar sandalyelerinin altına saklanmışlar, ancak ex hiç istifini bozmamış. Türev ağır adımlarla içeri girmiş ve tek başına oturan fonksiyonu görüp “sen benden korkmuyor musun?” demiş. Hayır, ben ex’im diye yanıtlamış kendine güvenen bir tavırla. “Yaa” demiş türev. “Peki benim x’e göre türev alacağımı kim söyledi?”
NAZİ KAMPI
Hitler birgün kamplardan birini ziyaret ederken oradaki tutuklulardan birine sorar:• - 5, 3 daha kaç eder?Mahkum 6 diye cevap verdiğinde yanındaki kurmaya döner ve kızgın bir ses tonuyla:• - Ne biçim toplama kampı bu?..diye azarlar.NASREDDİN HOCANasreddin Hoca bir gün heybe almak için pazara gider. Güzel bir heybe görüp pazarcı ile pazarlık yapar ve 1 akçeye anlaşırlar. Tam oradan ayrılacaktır ki daha güzel bir heybe dikkatini çeker:- Kaç akçe şu heybe muhterem?- 2 akçe hocam.- Aldım gitti, diyen hoca elindekini bırakır ve onu alıp tam gidecekken pazarcı seslenir:- Hocam. Bu heybe 2 akçe. Sen 1 akçe verdin.Hoca sinirlenir:- Bre cahil adam! Sana önce 1 akçe verdim. Sonra da 1 akçelik heybe bıraktım! İkisi eder 2 akçe. Daha benden neyin parasını istersin!
MECLİSTE
Osman Yüksel’in milletvekili olduğu yıllardır. Bir gün meclis kürsüsünde, kendisine lâf atan vekillere dayanamaz ve:“-Bu meclistekilerin yarısı eşektir!” der ve iner kürsüden.Bunun üzerine meclis karışır ve herkes kendisinden sözünü geri almasını ister. Arkadaşlarının da ricası ile tekrar kürsüye çıkar ve keskin zekâsını gösteren ve vekilleri rahatlatan şu sözleri söyler:“-Bu meclistekilerin yarısı eşek değildir!”
PARİTE OLAY
Olay, henüz döviz kurlarının uygulanmadığı yıllarda ABD-Kanada sınırındaki bir şehirde geçmektedir:ABD ve Kanada malum ki para birimi olarak ‘dolar’ kullanmaktadırlar. Yalnız her iki ülke de kendi paralarının daha değerli olduğunu iddia etmektedirler. Şöyle ki Kanadalılara göre:1 ABD Doları= 90 Kanada Centi, Amerikalılara göre ise :1 Kanada Doları= 90 ABD Centi.Bir amerikalı, cebindeki 1 dolarla dolaşmaya çıkar. Bir ara karnı acıkır ve simit alır (amerikan simiti!). Simitin fiyatı 10 centtir. Cebindeki 1 doları verir. Simitçi bozuk para ararken cebinin bir köşesinde 1 Kanada doları bulur, onu verir (90 cente eşit ya!). Derken sınırı yürüyerek geçer ve Kanada da dolaşmaya başlar. Kaleme ihtiyacı olduğunu hatırlar. Girer bir kırtasiyeciye. Kalemin fiyatı da 10 Kanada centidir. Cebindeki 1 Kanada dolarını verir. Kırtasiyeci de para üstü olarak 1 ABD doları verir. Oradan da ayrılıp evine döner. Sonra düşünmeye başlar:- Yahu sabah evden çıkarken cebimde 1 ABD dolarım vardı, şimdi de 1 ABD dolarım var. Pekiyi simitle kalemin parasını kim verdi?
BİR DERVİŞ
Garip dervişin biri büyük bir köşkün önünden geçerken evin ‘av meraklısı ve zalim’ olan beyi, yardımcıları ile ava gitmek için evden çıkıyorlardır. Dervişle selamlaşırlar. Aksilik bu ya o gün hiç bir şey vuramadan dönerler. Bey çok sinirlidir:“-Sabah ava giderken karşılaştığımız o dervişi bulun çabuk! Onun yüzünden işlerim ters gitti. Uğursuzu getirin bana!”Yardımcıları hemen dervişi bulup beyin huzuruna çıkarırlar. Bey kükrer:“-Bre uğursuz adam! Senin yüzünden elimiz boş geldik! Hiçbir şey vuramadık! Tiz vurun kellesini!”Derviş, beye şöyle der:“-Beyim sabah selamlaştık. Siz hiçbir şey vuramadınız. Ben ise kellemi kaybediyorum. Siz söyleyin, hangimiz daha uğursuzuz?”
HIZLI KAPLUMBAĞA
Bu paradoks, Zenon Paradoksu olarak ta bilinir:Hikaye bu ya, kaplumbağanın biri yolda Carl LEWİS’le (Bu ismin gerçek hayatla hiçbir ilgisi yoktur!) karşılaşır. Kısa bir sohbetten sonra kaplumbağa, Lewis’e 100 metre yarışı teklif eder. Önce bu teklife gülüp geçen Lewis, kaplumbağanın gayet ciddi ve ısrarcı olması üzerine isteksiz bir şekilde teklifi kabul eder:- Tamam yarışalım ama neyine güvenip benimle yarışmaya kalkıyorsun be birader?Kaplumbağa, yalnız bir şartı olduğunu söyler:- Senden tek isteğim, ben yarışa 10 metre önden başlayacağım. Bu şartla beni kesinlikle geçemezsin. Ne o yoksa korkuyor musun?Lewis kaplumbağanın şartını kabul eder. Yalnız kaplumbağa bir açıklamada bulunur:- Yarışa başladığımızda sen benim ilk başladığım noktaya geldiğinde ben biraz önde olacağım(mesela 10 metre). Bu anda filmi dondurup farkı göre biliriz. Tekrar harekete başladığımızda sen ikinci kez yarışa başladığım noktaya geldiğinde ben biraz daha önde olacağım(mesela 10 cm). Tekrar hareket ettiğimizde benim son olarak geldiğim yere geldiğinde ben mutlaka senin önünde olacağım. Dolayısı ile sen hiçbir zaman beni geçemeyeceksin.Bu sözleri duyan Carl LEWİS, yarışma fikrinden vazgeçer. Mâlum, itibar meselesi…
AĞANIN ATLARIZ
engin bir köy ağası vefat eder. Vasiyeti açılır. Mallarının yarısını(1/2) büyük oğluna, dörtte birini(1/4) ortanca oğluna ve beşte birini(1/5) küçük oğluna bırakmıştır. Bütün mallar paylaşılır ancak Ortada 19 tane de “at” vardır. 19′u ne ikiye, ne dörde, ne de beşe bölmek mümkündür. Köyün en akıllı adamına gidip akıl danışırlar. Adam da onlara yardımcı olabileceğini söyler. Der ki:-”Benim de bir atım var. Alın bunu size veriyorum. Oldu mu 20 at? Yarısını sen al bakalım (10). Dörtte birini de (5) ortanca kardeşin alsın. Beşte birini de (4) en küçüğünüze verelim. On, beş daha onbeş. Dört daha ondokuz. Verin bakalım şu bizim geriye kalan düldülü…!
MÜFETTİŞ PARADOKSU
Bir işyerini, önümüzdeki on gün içinde vergi müfettişleri denetlemeye gelecektir. Müfettişler, mantık oyunlarını sevdikleri için işyeri yetkilisine telefon açarlar ve:-”Hangi gün geleceğimizi, o günün sabahında tahmin edebilirseniz, denetimden kurtulacaksınız” derler.Defterleri denetimden geçemeyecek kadar karışık olan işyerinin yetkilisi, biraz düşünür ve müfettişlere:-”Galiba bu denetimi yapamayacaksınız efendim. Çünkü buraya geleceğiniz günü çok kolay tahmin edebilirim. Şöyleki:Denetimi, onunucu ve sonuncu güne bırakmazsınız. Çünkü ben ilk dokuz gün gelmediğiniz takdirde onuncu gün geleceğinizi hemen bilirim. Dokuzuncu gün de gelmezsiniz. Çünkü ilk sekiz gün içinde gelmezseniz, dokuzuncu gün geleceğiniz açıkça belli olur. (Onuncu gün gelmeyeceğinizi az önce ispatlamıştım). Onuncu ve dokuzuncu gün gelemeyeceğinize göre denetimi, sekizinci güne de bırakamazsınız. Çünkü ilk yedi gün içinde gelmediğiniz takdirde sekizinci gün geleceğinizi hemen anlarım…Yetkili, mantık oyunlarına müfettişlerden daha meraklıymış:)
DELİ Mİ AKILLI MI?
Mahallenin delisi, sokağa yeni taşınan komşularının eşya taşıyışlarını seyrediyordu. Evin babasının gayet güçlü ve iri yarı bir görüntüsü vardı. Kültürlü bir insana benziyordu. Eşyaları bir çırpıda 5. kata çıkarıyordu. Bir süre onu seyreden deli, yavaş yavaş yanına yaklaştı. Onun geldiğini fark eden adam, bir şeyler sormak istediğini anlayıp beklemeye başladı. Nihayet deliden soru geldi:“- Bu eşyaların neden hepsini birden taşımıyorsun?”“- Dikkat etmedin galiba. Burada bir kamyon eşya var. Hepsini bir seferde nasıl taşıyacağım!?”“- Bir seferde taşıyabileceğin miktarda eşyayı sırtladığında, üzerine o ağırlığın binde birini koyarsam yine taşıyabilir misin?”“- Elbette. Ne kadar fark edecek ki?”“- Öyleyse tekrar binde birini koyabilirim ve sen yine taşıyabilirsin.”“- Doğal olarak! Binde birlik ağırlık farkı, beni etkilemez”“- Pekiyi bunu devamlı yaptığımda tüm eşyaları yüklemiş olmaz mıyım?”“- Eeee şeyy… evet.”“- O halde neden hepsini birden taşımıyorsun!?”
PARA ÜSTÜ
Adamın biri kafeye gelir ve bir kola içer. Garson hesabı almaya geldiğinde fiyatı sorar. Kola fiyatının 260.000 lira olduğunu öğrenir ve yirmi altı tane on bin liralık demir parayı üstüste dizer. Garson tam parayı alacakken, bir vuruşta hepsini yere saçar. Birşey diyemeyen garson içinden söylene söylene paraları toplamaya başlar. Ertesi gün aynı adam, aynı garsondan bir kola ister. Hesabı öderken aynı şekilde yirmi altı tane on bin liralık demir parayı üstüste dizer. Garson tam parayı alacakken, yüne bir vuruşta hepsini yere saçar. Garson çok sinirlenir fakat birşey diyemez ve paraları toplamaya başlar. Bir sonraki gün aynı adam aynı kafeye tekrar gelir ve yine bir kola içer. Fiyatı sorar garsona. Neler olacağını bilen garson bezgin bir şekilde:- 260.000 TL. diye cevap verir.O da ne?.. Adam cebinden bir beşyüz binlik çıkarıp uzatır garsona. Garson büyük bir keyifle yirmi dört tane on binliği üstüste dizer ve tam adam alacakken öncekilerden çok daha kuvvetli bir vuruşla paraları kafenin içine saçar. Adam hiç istifini bozmaz. Cebinden iki tane daha on binlik çıkarıp atar diğer paraların arasına:- Boşver… Bir kola daha ver bana…
TERS MANTIK
Temel coğrafya öğretmenine sorar:- İstanbul’dan Ankara’ya uzaklık kaç kilometre?..- 450…diye yanıtlar öğretmeni. Temel bunun üzerine:- Peki Ankara’dan İstanbul’a uzaklık kaç kilometre?.. diye sorduğunda öğretmen hiç düşünmeden:- Aynı uzaklık, 450…diye cevapladığında Temel biraz duraklar ve itiraz eder:- Öyle olmayabilir, mesela Ramazan Bayramı’ndan Kurban Bayramı’na iki, Kurban Bayramı’ndan Ramazan Bayramı’na ise on ay var…
YAZI-TURA
Bir matematik öğrencisi finale çalışamamıştır ve sınava girdiğinde bakar ki sorular doğru/yanlış tipinde. Ne yapacağı bellidir. Çıkarır bir bozuk para ve yazı-tura atarak imtihanı cevaplandırmaya başlar. Gözetmen de bir yandan takip etmektedir onu. Bu şekilde iki saat geçer. Herkes sınıfı terketmiştir fakat o hala yazı tura atmaktadır. Gözetmen dayanamaz ve gelip sorar:- Sınava çalışmadığın ortada. Kitapçığı bile açmadın ve yazı-tura atarak cevaplandırıyorsun. Peki seni bu kadar uzun süre meşgul eden nedir?Öğrenci hiç istifini bozmaz ve bozuk parayı fırlatmaya devam eder:- Şşşt, cevapları kontrol ediyorum.YARDIM TALEBİÇocuk babasından matematik ödevini yapmasına yardım etmesini ister ve- Doğru olmaz oğlum.cevabını alır fakat o ısrarlıdır:- En azından dene baba…
MATEMATİKÇİ
Balonla seyehat etmekte olan bir grup yolunu kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye yaklaşırlar. İçlerinden biri aşağıya bağırır:- Heyyy!.. Şu anda nerdeyiz?..Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve biraz düşünüp dalgın dalgın cevap verir:- Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız…Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına:- Biliyor musunuz bu adam matematikçi.der. Bunun üzerine balondaki diğer şahıslar bunu nerden anladığını sorduklarında şöyle yanıtlar:- Birincisi, çok düşündü, ikincisi söylediği şey kesin olarak doğru… Üçüncüsü, bir işe yaramıyor…/
İDDİA
İki matematikçi aralarında tartışmaktadır. Bunlardan biri aslında matematiği herkesin az-çok bildiğini iddia ederken, diğeri de öyle olmayıp sadece eğitimini almış insanların bildiğini savunmaktadır. Sonunda bu meseleyi tartışarak halledemeyeceklerinin farkına varırlar ve teklifte bulunur herkesin bildiğini iddia eden:- Şurada bir restoran var. Girelim oraya ve oradaki garson kıza x’in integralini soralım. Kabul ediyor musun?Diğeri hemen kabul eder. Öyle ya, x’in integralini bilen kaç tane garson kız vardır ki? Ne var ki, bu tartışmayı planlamış bulunan diğeri daha önceden garson kıza gidip, ona bir miktar karşılık önererek kendisine sorulacak olan soruya x2/2 cevabı vermesi hususunda anlaşmıştır. Neyse, gelirler restorana ve o kızı görüp yanına gelirler. Kıza:- Afedersiniz, size bir soru sorabilir miyiz?derler. Kız kabul edince de soruyu sorarlar. Garson kız pek fazla düşünmeden:- x2/2diye cevap verir. Biri kazanmanın sevinci, biri de kaybetmenin hüznüyle teşekkür ederek ayrılırlarken garson kız arkadan seslenir:- Bir de C sabiti var
DENEY
Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir kimyacıyı bir ay süreliğine ayrı ayrı odalara kapatmışlar. Odalarda kilitli bir buzdolabı ve çeşitli araç gereç varmış. Bir ay sonunda odaların kapılarını açıp bakmışlar. Fizikçi mekanik bir makine yaparak buzdolabının kapısını kırmış ve karnını doyurmuş. Kimyacı çeşitli elementleri karıştırarak bir sıvı yapıp buzdolabının kapısını eritmiş. Son olarak matematikçinin odasına girmişler. Matematikçinin kurumuş cesedi duvara dayanmış bir halde yerde kanla şunlar yazılıymış:Teorem: Buzdolabını açamazsam ölürüm.İspat: Buzdolabını açtığımı varsayalım
İSKOÇYA KOYUNLARI
Bir mühendis ,bir fizikçi ve bir matematikçi iskoçyada trenin penceresinden bakarken siyah bir koyun görürler, mühendis hemen atılır;iskoçyadaki bütün koyunlar siyah der.Fizikçi söze karışır iskoçyadaki bazı koyunlar siyah diyerek.Ve matematikçi son noktayı koyar iskoçyada en az bir tarafı siyah olan en az bir tane koyun vardır.
İNDİRGEME
Bir matematikçi ve fizikçi fakültenin dinlenme salonun da oturup kahvelerini yudumlarken bakarlarki kahve makinası tutuşmuş,fizikçi hemen koşarak eline aldığı kovayı doldurarak ateşi söndürür.İkinci gün olacak ya aynı olay tekrar vuku bulur.Bunun üzerine matematikçi koşar kovayı alır getirir ve fizikçinin eline tutuşturarak problemi daha önce çözümlenmiş olanına indirger
YANGIN
Bir mühendis ,bir fizikçi ve bir matematikçi bir hoteldedir.Derken mühendis burnuna gelen duman kokusuyla uyanır,hole çıkar ,bir de bakar ki bi yangın var.Eline geçirdiği bir kovaya su doldurarak yangını söndürmeye çalışır.Daha sonra fizikçi uyanır,aynı yangını görür ve yangın hortumunu bulur ve başlar hesap yapmaya;su basıncı, alevin şiddeti,aradaki mesafe falan derken hesaplara göre minimum miktarda suyla ve minimum enerjiyle yangını söndürür (ikinci versiyon yaptığı hesaplara göre yangının sönmeyeceği ortaya çıkar ve yatağına geri döner)Daha sonra matematikçi kalkar kokunun etkisiyle ve hole koşar bir de baksın yangın var.Derken cözüm aramaya koyulur.derken yangın hortumunu bulur ve ”çözümü buldum” diye bağırarak yatağına geri döner.
ÜÇGENİN TANIMI
İlkokulda, matematik dersinde öğretmen üçgenin alanını, cocuklaraşu şekilde öğretmiş: Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile diklesimininvuruşumunun, ikiye bölümüdür. Çocuk bunu güzelce ezberlemiş.Akşam babası evde sormuş:- Bu gün okulda ne öğrendiniz?- Matematik dersinde, bir üçkenarlının alanını öğrendik babacığım.- Ya öyle mi, peki nasıl öğrendiniz?- Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin vuruşumunun,ikiye bölümüdür.- Yavrum, yanlıs öğretmişler size. Doğrusu : Bir üçgenin alanı,tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.O sırada, bir yandan gazetesini okuyan, bir yandan da torunuyla oğlunun konusmasını dinleyen dede, dayanamayıp söze girmiş :İkinizin de tanımı yanlış! Bir müsellesin mesaha-i sathiyesi,kaidesiyle irtifaının hasıl-ı darpının nısfına müsavidir.
İNTEGRAL
İki erkek matemetikçi bir bara gider.Birincisi ikincisine ortalama bir kişinin matematik hakkında çok az şey bildiğini söyler.İkincisi buna katılmaz ve bir çok insanın yeterli miktarda matematikle başa çıkabileceğini iddia eder.Birinci matematikçi tuvalete gider. Onun yokluğunda ikinci matematikçi garson kızı çağırır.Ona bir kaç dakika sonra arkadaşı döndügünde kendisini tekrar çağıracağını ve bir soru soracağını söyler. Bütün yapacağı “iks küp bölü üç” diye yanıt vermektir.Kız tekrarlar `eks küp… ne?’ Matematikçi düzeltir `iks küp bölü üç’Kız: `Eks küp bölü üç?’ Evet der matematikçi. Kız tamam deyip, kendi kendine mırıldanarak uzaklaşır, `iks küp bölü üç, iks küp…’Birinci matematikçi döner ve ikincisi kendi görüşünün doğruluğunu kanıtlamak için iddiaya girmelerini teklif eder.Sarışın garson kıza bir integral soracağını söyler, birincisi gülerek kabul eder.İkinci adam garson kızı çağırır ve sorar `x karenin integrali nedir?’Garson kız yanıtlar `x küp bölü üç’, uzaklaşırken de ekler `artı bir sabit sayı’!
KAÇ KİŞİ VAR?
Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir biyolog bir kafeye oturmuş karşıdaki eve bakarlarken eve iki kişi girdiğini görürler. Bir müddet sonra evden üç kişi çıktığını gördüklerinde olayı şu şekilde yorumlarlar:Fizikçi: Gözlem hatası yaptım.Biyolog: İçerde ürediler.Matematikçi: Eve bir kişi daha girerse içerde hiç kimse kalmayacak.
GOLF
Bir rahip, bir doktor ve bir matematikçi golf oynamak maksadıyla golf sahasına gittiklerinde görürler ki saha doludur. Fakat işin enteresan yanı o sırada oyun oynamakta olan yaşlı dört adam oldukça kötü oynamaktadırlar. Sonunda dayanamayıp yetkiliye şikayet ederler:- Evet kabul ediyoruz, sıra onların fakat siz çok iyi bir kulüpsünüz. Bu kadar kötü bir oyunun oynanmasına nasıl seyirci kalabiliyorsunuz…Bunun üzerine yetkili o kişilerin kulübün ortaklarından olduklarını ve hepsinin kör olduğunu, bu yüzden o kadar kötü oynadıklarını söyleyince papaz pişmanlık ve mahcubiyet içerisinde:- Ben papazım, lütfen herhangi bir ihtiyaçlarında beni şu kilisede bulsunlar…der ve apar topar gider. Doktor aynı şekilde:- Ben dünyanın en ünlü göz doktorlarından biriyim. Herhangi bir şikayetlerinde onlara yardım etmeyi çok isterim…deyip hemen evine doğru yola koyulur. Matematikçi ise gayet soğukkanlı bir şekilde sorar:- İyi de niye gece oynamıyorlar?..

ilizyonlu resimler

ilizyonlu resimler: Gerçekte hangisi kızgın




Eğer yukarıdaki görüntülere bilgisayarınızın hemen önünden bakarsanız, kızgın yüzün solda, sakin yüzün sağda olduğunu görüyorsunuz...Ancak, 2-3 metre uzaklaşıp baktığınız zaman tam tersini görüyorsunuz...


Bu illuzyon, Glasgow Üniversitesi'nden Phillippe G. Schyns ve Aude Oliva tarafından yapılmıştır.


-------------------------------------------------------------------------------------------------


Bu resimde hangi hayvan(lar) var?



-------------------------------------------------------------------------------------------------





Bu çubuklara ne oliyy?





Çubuklarda bi anormallik mi var?





Üçgenin kenarları eğrimi banamı öyle geliyor?


-------------------------------------------------------------------------------------------------





Neden imkansızmış?

-------------------------------------------------------------------------------------------------



Resme bakın ve gördüğünüz renkleri söylemeye çalışın. Dikkat edin yazılanı değil gördüğünüz renkleri söyleyeceksiniz.
Açıklama:
J. R. Stroop'un 1935 yılında geliştirdiği üç kısımdan oluşan bir bilişsel kontrol testi. Testin ilk kısmında deneklere renk isimleri sunulur ve bunları olabildiğince hızlı okumaları istenir. İkinci kısımda renkli mürekkeple basılı nokta kümelerinin renklerinin olabildiğince hızlı söylenmesi istenir. Üçüncü kısımda ise sunulan rengin adından farklı renkten mürekkeple yazılan kelimelerin olabildiğince hızlı (ve yüksek sesle) okunması istenir. Örneğin 'mavi' kelimesi kırmızı veya sarı mürekkeple yazılmıştır. Bu deneylerden çıkan ve Stroop etkisi olarak adlandırılan çarpıcı sonuç, deneklerin, farklı renkten mürekkeple yazılan renk adlarını (örneğin mavi renkle yazılı 'kırmızı' kelimesini) okumakta oldukça zorlanmaları, doğru okuyabilmek için uzunca bir süre harcamaları, hatta yazılı kelimeyi değil, mürekkebin rengini söylemeleridir (örneğimizde doğru okuma 'kırmızı' olacakken, deneğin 'mavi' demesi). Bu testin bilişsel psikoloji açısından önemi, görsel algıyla (burada renk) sembolik-semantik algı (burada rengin adı) arasında bir çatışma olduğunda, görsel algının ağır basmasıdır. Başka bir deyişle görsel algı daha temel, daha ilkeldir ve semantik süreçlerden önce gelir.

Neden Matematik Öğreniyoruz ?

Neden Matematik Öğreniyoruz ?

Matematik uygarlığın aracıdır. Matematik çok yönlü bir bilimdir. Yayılma alanının ve derinliğinin sınırı yoktur. Bilim ve teknolojide olduğu kadar günlük yaşamda da vazgeçilmezdir. Çağlardan çağlara taşınan, ulusal sınır tanımayan, etkili, sağlam ve evrensel bir kültürdür.

İnsanoğlu varoluşundan beri korkuyla, şüpheyle ve merakla içinde yaşadığı evreni tanımaya, doğa olaylarını açıklamaya ve doğaya egemen olmaya uğraşmaktadır. Gizlerini bilmediği için doğa olaylarını, yüzbinlerce yıl boyunca, korkuyla gözleyen insanoğlu, doğaya egemen olmak zorunda olduğunu kavradıktan sonra onunla amansız bir mücadeleye girmiştir.

Bu mücadelede onun en hünerli aracı matematiktir.Tarih öncesi zamanlardan beri insanoğluna doğa üstü görünen pek çok olayın bilimsel açıklaması matematik ile yapılabilmiştir, evrenin mükemmel düzeni matematik ile ortaya konulmuştur. Örneğin, gök cisimlerinin hareketi, insanoğlunun daima merak ettiği hatta korktuğu olgulardandı. Şimdi Ay'ın ve Güneş'in tutulmasından korkmuyoruz; hatta tutulmaların ne zaman ve nerede olacağını çok önceden hesaplayabiliyoruz. Gök gürlemesinden, yağmurdan, selden korkmuyor; barajlar kuruyor, evlere, fabrikalara enerji akıtıyoruz. Dünyada ve hatta gezegenler arasında etkin bir haberleşme ağı yaratıyor, üstün bir iletişim ortamı kuruyoruz.

Temeli matematiğe dayanan Elektrik ve Magnetizma Kuramı olmasa günümüzün enerji ve iletişim sistemleri çalışmazdı; yani radyolarımız çalışmaz, televizyonlarımız göstermez; barajlarımız elektrik üretmezdi. Işığın nasıl yayıldığını kolayca açıklıyoruz. Işığı yalnız aydınlatmada kullanmıyoruz; örneğin, x ışınlarını, lazer ışınlarını insanlığın sağlığı, refahı ve mutluluğu için kullanabiliyoruz. Süper bilgisayarlar üretiyor ve binlerce kişinin binlerce yılda bitiremiyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. Romantizmin başlıca kaynağı olan Ay'a ayak basıyoruz... Bütün bunları matematikle yapıyoruz.

Matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan yoktur... Matematik yalnızca çağdaş bilim ve tekniğin temel aracı değildir... Tıp, sosyal, siyasal, ekonomi, işletme, yönetim v.b. bilimler de matematiksel yöntemlere dayanmak zorundadır. Kısaca matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır, çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktır.

Bu nedenle, matematik öğretimi bütün dünya ülkelerinde özel bir önem ve önceliğe sahiptir.

Mükemmel Sayılar

Mükemmel Sayılar


Mükemmel sayılar;Kendisi dışındaki bütün pozitif bölenleri (çarpanları) toplamı sayının kendisine eşit olan sayılara, mükemmel sayılar denir.


Bunlardan en bilineni 6 dır.Bakalım 6 mükemmel bir sayımı. 6 yı tam bölen sayılar 1, 2 ve 3 tür.


Bölenlerin toplamı
1+2+3=6 görüldüğü üzere 6 Mükemmel sayı kuralına uyuyor.

28 de bir mükemmel sayıdır. 28 in tüm bölenleri 1,2,4,7,14 tür toplamları 1+2+4+7+14=28 dir.Görüldüğü üzere 28 de bir mükemmel sayıdır.


Mükemmel sayı bulmak için genel bir formül yoktur ancak yukarıda verilen formülle elde edilen sayılar birer mükemmel sayıdır. Formülden anlaşılacağı üzere, formülü kullanarak elde edeceğiniz mükemmel sayılar çifttir.
Bu arada şunuda söyleyelim bilinen mükemmel sayılar içinde tek sayı olanları yoktur.

Çokgensel sayılar




Çokgensel sayılar: Bir çokgenin köşelerini baz alarak elde ettiğimiz sayı dizelerinden oluşur.

Yandaki şekilde görülen çokgensel sayıları inceleyelim.Üçgen sayılar 1, 3, 6, 10, 15, 21,... şeklinde devam eden sayılar dır.

Kare sayılar 1, 4, 9, 16, 25,... (Kare alma işlemiyle de aynı sonuca ulaşabilinir.)Beşgen sayılar 1, 5, 12, 22, 35, …

Bu sayı örüntülerinin genel ifadelerini verelim.

Üçgen, kare, beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen sayılar hep çokgensel sayılardır ve alttaki formüllerle bulunabilirler:


Üçgen P3,n= n(n+1)/2 ..........1, 3, 6, 10, 15, …

Kare P4,n= (n üzeri 2) ...........1, 4, 9, 16, 25, …

Beşgen P5,n= n(3n-1)/2 .......1, 5, 12, 22, 35, …

Altıgen P6,n= n(2n-1) ...........1, 6, 15, 28, 45, …

Yedigen P7,n= n(5n-3)/2 .....1 , 7, 18, 34, 55, …

Sekizgen P8,n= n(3n-2) .......1, 8, 21, 40, 65, …

Moeibus band: Möbius şeridi


Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirirsek elde edilen şeride Möbius şeridi denir. İlk olarak 1861'de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır.



Normal bir şeridin 2 yüzü vardır ancak möbius şeridinin 1 yüzü vardır. Yani möbius şeridininin üzerindeki bir noktadan hareket etmeye başladığınızda tekrar aynı noktaya geri dönersiniz. Resimdeki karıncaları takip edin göreceğiniz şey karıncalar şeridin tüm yüzeyinde yürüyebildikleridir.







Möbius şeridinin ilginç bir özelliğini söyleyelim. Uzunca dikdörtgen bir kağıt parçası kesin, bir ucunu 180 derece çevirip diğer ucuna yapıştırın, işte size bir möbius şeridi. Şimdi elde ettiğimiz möbius şeridini tam ortadan düzgün bir şekilde kesin, sizce kaç tane şerit oluşur ?

Pascal Üçgeni (Pascal Triangle)




Pascal üçgenindeki sayılar kendi üstündeki sayıların toplanarak yazılmasıyla elde edilir. Bu arada her satırın başına ve sonuna 1 yazılır.Hakkında:Pascal üçgeni olarak bilinen, bu üçgen ile ilgili Pascal’ dan öncede çalışmalar yapılmıştır. Çinli bilim adamlarından Pingala, Müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam gibi bir çok bilgin bu üçgen üzerinde incelemeler yapmıştır. Blaise Pascal ise kendinden önceki çalışmaları toplayıp farklı alanlarda ki uygulamalarını keşfetmiştir. Uygulama alanları içinde Olasılık, Alt küme hesabı, İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin hesabı gibi farklı kullanım alanları vardır.Bazılarını inceleyelim;Altküme sayısı hesaplarken Pascal üçgenini kullanabilirsiniz.B={a,b,c,d} B kümesi 4 elemanlıdır. [s(B)=4] Bu kümenin alt kümeleri Pascal üçgeninin 1..4..6..4..1 dizilişinde gizlidir.
Şöyle ki;
B kümesinin0 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 1 dir.
1 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 4 dür.
2 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 6 dır.
3 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 4 dür.
4 Elemanlı alt kümelerinin sayısı: 1 dir.
İki terimli bir harfli ifadenin kuvvetlerinin açılımındaki kat sayılar Pascal üçgeninde gizlidir.Örneğin:

Bunun dışında faklı birkaç bilgi verelim.

Pembe çizgi üzerindeki sayılar 0 hariç doğal sayılardır.Mavi çizgi üzerindeki sayılar Üçgen sayılardır. (Çokgensel sayılara bakın)Aynı yöndeki sayıların toplamı(yeşil çizgileri takip edin), seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)
Pascal üçgenindeki her satırın toplamı 2 nin kuvvetlerini verir.

Sıfır neden çift sayı kabul edilir?

Sıfır neden çift sayı kabul edilir?

Sıfırınneden çift olduğuna geçmeden önce tek ve çift sayı kavramı üzerinde durmamız gerekiyor. Matematikte kavramlar söz konusu olduğunda tahmin edebileceğinizden daha fazla farklı fikirle karşılaşırsınız. Ancak bu tek ve çift sayı konusunda matematikçilerin büyük bir kesiminin ortak bir kararı olduğunu görebiliriz. Tanım şu şekilde yapılmıştır: İki ile bölündüğünde sıfır kalanını veren sayılara çift sayılar, bir kalanını veren sayılara da tek sayılar denir. Bu tanıma göre iki ile bölündüğünde sıfır kalanını veren sıfır sayısı bir çift sayıdır.

Daha daha daha büyük sayılar nasıl adlandırılır?


10^0. Bir (1)
10^3. Bin (1.000)
10^6. Milyon (1.000.000)
10^9. Milyar (1.000.000.000)
10^12. Trilyon (1.000.000.000.000)
10^15. Katrilyon
10^18. Kentilyon
10^21 Seksilyon
10^24. Septilyon
10^27. Oktilyon
10^30. Nonilyon
10^33. Desilyon
10^36 . Undesilyon
10^39 . Dodesilyon
10^42 . Tredesilyon
10^45 . Kattuordesilyon
10^48 . Kendesilyon
10^51 . Sexdesilyon
10^54 . Septendesilyon
10^57 . Oktodesilyon
10^60 . Novemdesilyon
10^63 . Vigintilyon
10^66 . Unvigintilyon
10^69 . Dovigintilyon
10^72 . Trevigintilyon
10^75 . Kattuorvigintilyon
10^78 . Kenvigintilyon
10^81 . Sexvigintilyon
10^84 . Septenvigintilyon
10^87 . Oktovigintilyon
10^90 . Novemvigintilyon
10^93 . Trigintilyon
10^96 . Untrigintilyon
10^99 . Dotrigintilyon
10^102 . Tretrigintilyon
10^105 . Kattuortrigintilyon
10^108 . Kentrigintilyon
10^111 . Sextrigintilyon
10^114 . Septentrigintilyon
10^117 . Oktotrigintilyon
10^120 . Novemtrigintilyon
10^123 . Katragintilyon
10^126 . Unkatragintilyon
10^129 . Dokatragintilyon
10^132. Trekatragintilyon
10^135. Kattuorkatragintilyon
10^138. Kenkatragintilyon
10^141. Sexkatragintilyon
10^144. Septenkatragintilyon
10^147. Oktokatragintilyon
10^150. Novemkatragintilyon
10^153. Kenquagintilyon
10^156. Unkenquagintilyon
10^159. Dokenquagintilyon
10^162. Trekenquagintilyon
10^165. Kattuorkenquagintilyon
10^168. Kenkenquagintilyon
Not: 10^3 on üzeri 3 demektir.

Platonik cisimler (Düzgün katı cisimler),(Platonic Solids)





Yüzeyleri düzgün çokgenler olan, yüzeyleri, köşeleri ve ayrıtları aynı, üç boyutlu cisimlere düzgün çokyüzlüler denir.



Eski Yunan filozofu Platon'a gore evren "esir", toprak, hava, ateş ile su'dan oluşan beş temel ögeden oluşur. Yine Platon'a gore bu 5 ögenin her biri birer eşkenar çokyüzlü olan atomlardan oluşmuştur. Bundan dolayi eşkenar çokyüzlülere platon cisimleri adi verilir. Matematiksel olarak toplam 5 ceşit çokyüzlü vardir:



Tetrahedron (4 yüzlü),
Hexahedron (Küp, veya 6 yüzlü),
Octahedron (8 yüzlü),
Dodecahedron (12 yüzlü),
Icosahedron (20 yüzlü).



Bu çokyüzlülerin nasil göründüğünü yukarıdaki şekillerde görebilirsiniz.Günümüzde artık atomun ne olduğu anlaşıldığından Platon’un bu görüşü olduğu gibi geçerli değildir. Ama ilginçtir ki atomlar kristal oluştururken aynen Plato'nun tanımladığı çokyüzlü üniteler seklinde dizilmektedir. Bu da Platon'un tamamen yanlış bir çıkarsamada bulunmadığını gösteriyor.Bu saydığımız şekillerin, biri hariç, atomlar tarafından oluşturulduğu uzun suredir biliniyordu, ama 4. sıradaki dodecahedronun yani onikiyüzlünün doğadaki varlığı şimdiye kadar henüz gösterilememişti.




Nature dergisinin Şubat 2006 sayısına göre bu onikiyüzlünün de atomlar tarafından kristal oluşumunda kullanıldığı geçenlerde ispatlandı. Natura dergisine göre, bu onikiyuzlu kristal dizilimini Meksika'daki San Louis Patosi Teknoloji Araştırma Enstitüsünden Josa Luis Rodriguez-Lopez ile Austin'deki Texas Üniversitesinden Miguel Jose Yacaman, altın-paladyum atomlarının her biri 2 nanometre uzunluğundaki kenarlardan oluşan kristal yapısında göstermişlerdir.




Böylece bu arastırıcılar Platon cisimlerinin hepsini doğanın temel yapısında kullanıldığı görüşünü tamamlamış oldular. Platon, ideal çokyüzlüler düşüncesini bir matematikçiden almış ve kendisinin geliştirdiği 5 doğal element felsefesine uyarlamıştır. Her ne kadar bu sentezden vardığı cıkarım doğru değilse de, Platon evrende var olan önemli bir gerçeği önceden akıl yoluyla tahmin ederek doğru akıl yürütmenin önemini göstermiştir.

Bir tam açı neden 360 derecedir?



Sümer ve Akad larda astronomiye çok önem verilmiştir ki dinsel inanışları bunu gerektiriyordu. İnanışlarına göre yıldızlar ve gezegenlerin gökyüzündeki düzenlerinde, sıralanışlarında insanların iyiliğine yada kötüğüne yönelik bir takım işaretlerin saklı olduğuna bu işaretlerinde tanrılar tarafından gökyüzüne gizlendiğine inanıyorlardı. Bu sebepten gökyüzünü günlere göre belli aralıklara böldüler. 1 yılı 360 gün olarak tespit etmişler ve 30 gişlik (günlük) 12 aya bölmüşlerdir ve bu takvimi gökyüzüne uygulayarak 360 derecelik daireyi bulmuşlardır.

Bizlerde o zamandan bu zamana 360 derecelik açısal ölçüyü kullanmaya devam ediyoruz. 360 derecelik açı ölçüsünün en önemli avantajı 360 sayısının çok sayıda böleni olmasıdır. Bu sayede hesaplamalarda bizlere kolaylık sağlıyor.

Sayıların gizemi

Sayıların gizemi.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111=123456787654321
111111111x111111111=12345678987654321

Bunun gibi enteresan işlemlerle karşılaştıysanız yorum kısmına bırakın.

Pratik hesaplama yöntemleri


10 ile çarpma: E bunu bilmeyen yoktur. Tabiki 10 ile çarpılan sayının sonuna bir sıfır ilave edilir. Eğer sayı virgüllüyse virgül sağa doğru kaydırılır. [15x10=150](10 un katları içinde aynı kural geçerlidir.)
5 ile çarpma: Çarpılacak sayının yarısı alınır ve sağına bir sıfır konulur. Sayı tek ise yarısı virgüllü olacaktır bu durumda virgül bir basamak sağa kaydırılır. (14x5=70)
25 ile çarpma: Sayının dörtte biri ve sağına iki sıfır ilave edilir. Virgüllü sonuç varsa iki virgül kaydırılır.(28x25=700)
50 ile çarpma: 5 ile çarpma ile aynıdır. Farkı sayının yarısı alındıktan sonra sonuna iki sıfır eklenir.(14x50=700)
15 ile çarpma: Sayının kendisi ve yarısı toplanır sonuna bir sıfır ilave edilir.(60x15=900)11 ile çarpma: Eğer onbir ile çarpacağınız sayı iki basamaklıysa sayının biler ve onlar basamağı toplanır sayının ortasına yazılır.(27x11, 2+7=9, 27x11=297) Eğer toplam 10 ve daha büyük sayı ise elde onlar basamağına aktarılır.(38x11 , 3+8=11, 38x11=418)
9 ile çarpma: Sayı 10 ile çarpılır ve kendisi çıkartılır.
5 ile bölme: Sayının iki katı alınır ve bir sıfır eksiltilir. Sayının sonunda sıır yoksa bir virgül sola kaydırılır.(25:5=5, 32:5=6,4)
25 ile bölme: Sayının dört katı alınır ve iki sıfır çıkarılır.(120:25=4,8)

Topolojik halkalar

Topolojik halkalar






Yukarıda Görmüş olduğunuz halkalardan hangi ikisi birbirine bağlı ?Bir halka çıkarılırsa ne olur ?Üç halkanın birbiri ile bağlantısı nedir ?
Topoloji nedir?Topoloji, Yunanca'da yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden türetilmiştir. Dolayısıyla, topoloji, uzaylar veya yüzeyler bilimidir.


Topolojide amaç, nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek bir başka nesneye dönüştürebilmektir. Bunun için de "homeomorfizma" adındaki denklik bağıntısı tanımlanmıştır;Homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümünü alabiliriz. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, o cismi yırtmadan, kesip koparmadan sadece çekip uzatarak ve eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz.


Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz.Topoloji n boyutlu uzay bilimidir.n boyutlu uzaylarda yuvarlarla uğraşır.n boyutta uzyın her elemanın komşulukları ve bu komşuluklarla noktanın cebirsel özelliklerini irdelerKaynak: http://tr.wikipedia.org/wiki/Topoloji

Doğadaki altıgen: Kar kristalleri (Snowflakes)

Kar yağdığı zaman hepimiz ne kadarda seviniriz. Karın beyazlığı insanın gözlerini kamaştırır.
Kar üzerine gelen ışığın hemen hepsini yansıttığından beyaz görünür. Karın belkide bilmediğiniz bir özelliği daha vardır oda kar kristallarinin Altıgen şekli.



Kar kristalleri neden altıgendir ? Konunun uzmanlarına göre bir kristalin şeklini belirleyen temel özellik bu altıgen su moleküllerinin tıpkı bir zincirin halkaları gibi birbirlerine kenetlenmesidir. Altıgen olmasının yanında, kar kristallerinin hiç birinin, birbirine tam anlamıyla benzememesi en önemli özelliğidir. İnsanı hayretler için bırakan bu durum üzerine, Amerikalı bilim adamı Wilson Bentley ilk araştırmalarda bulunmuş ve incelediği 6000 kar kristalinin, hiç birinin birbirine tam anlamıyla benzemediğini görmüştür.




Daha sonra yapılan araştırmalarda da aynı şekilde , aynı büyüklükte ve aynı miktarda su molekülü ihtiva eden, kar kristaline rastlanamamıştır.
Kar kristalleri için denirki havadayken hiç bir kar kristali bir birine değmez bu gerçektende böyledir. Çapı 2-4 mm olan karkristallerinin ağırlığı 0,005 gr dır. Hava akımına karşı dirençli olduklarından yavaş yavaş yere doğru inerler. Bu iniş sırasında kristaller birbirini ittiğinden yapışmaz ve özelliklerini koruyarak yer yüzüne düşerler. (Yanlız kristaller yeryüzüne yaklaştıkça rüzgarında etkisiyle birbirine geçebilirler. Bu durumda lapa lapa dediğimiz yağışa dönüşürler. )




Kar yağışı -4 ile -20 derece sıcaklıklarında gerçekleşir. Kristallerin şekli ve büyüklüğü havanın sıcaklığına ve nemine bağlı olarak değişir. Kendinize sanal ortamda bir kar kristali yapmak istemisiniz ? (Tıkla)(Yukarıda Verdiğim linkte bir flash animasyon var bir parça kağıdı mouse ile kesiyor ve kendinize bir kar kristali yapabiliyorsunuz. Hatta kendi kristalinizin resmini kaydedebilirsiniz.)
Hareketli sanal kar kristali yapmak için (
tıkla.)

Atatürk ve Matematik

Atatürk ve Matematik

Atatürk' ün önder olma kişiliğinin yanında matematikçi kişiliğini biliyormuydunuz.Evet aynen öyle Atatürk kendisi bizzat Fansızca bir matematik kitabını Türkçe' ye çevirmiştir.Dil devrimiyle birlikte dili Osmanlıca' dan öz Türkçe'ye dönen bir toplumun eski dildeki geometri terimlerini anlayabilmelerine olanak yoktur. Bu eksikliğin farkında olan Atatürk, yaverinden Avrupa kaynaklı bir geometri kitabı istetir. Kendisine getirilen Fransızca geometri kitabını Türkçeye çevirmiş ve matematik eğitiminin gelişimine bizzat kendisi katkıda bulunmuştur. Terimlerin bir çoğunun karşılığını kendisi geliştirmiştir.

Eski dildeki geometri ve matematik terimlerinin bazılarının yeni dildeki karşılıkları şunlardır:

Bölen - Maksumunaleyh
Bölme - Taksim
Bölüm - Haric-i Kısmet
Çarpanlara Ayırma - Mazrubata Tefrik
Çember - Muhit-i Daire
Çıkarma - TarhDikey - AmudiLimit - Gaye
Ondalık - Aşar'iParabol - Kat'ı Mükafti
Piramit - EhramPrizma - Menşur
Sadeleştirme - İhtisar
Teğet - Hatt-ı Mümas

Birde şu cümleye bakalım:"Müsellesin sathı yatalay, dikeley zarbının müsavatına müsavidir." Bu cümlenin günümüz dili ile karşılığı. "Üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir." görüldüğü üzere eski dildeki terimleri anlamak kullandığımız dil ile mümkün değildir.Atatürk' ün yeni yetişecek neslin kendi diliyle anlayacağı bir matematik eğitimi için yaptığı katkıyı iyi anlamak gerekiyor.

Not: Bu yazıdan Arap dilinin bilim yapmak için kullanışlı olmadığı sonucunu çıkarmamalısınız. Hatırlanacağı üzere, bir çok Türk İslam matematikçisi ve bilim adamının kullandığı dil ve bu insanların yazdığı bir çok eser Arapçaydı. Bu eserlerin bir kısmı Avrupa ve Amerikan kütüphanelerinde bulunmaktadır. Ayrıca eserler araştırma ve tezlere de konu olmuştur.

Asal Sayılar


Kendisinden ve 1’den başka pozitif böleni olmayan, 1’den büyük pozitif tam sayılara “asal sayılar” denir. (2, 3, 5, 7, 11...) Tanımdan da anlaşılacağı gibi; ‘0’ ve ‘1’ asal sayılar olarak kabul edilmemektedir. Çünkü, ‘0’ sayısı hem kendisine bölünemez hem de bölen sayısı ikiden fazladır. ‘1’ sayısı ise, ‘1’ den başka böleni olmadığı için asal sayı olarak kabul edilemez. İlginç bir özellikleri ise, sayılar içerisinde düzensiz bir şekilde dağılmalarıdır. Belli bir dizilişleri yoktur.
Öklid (Euklides)'ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann Hipotezidir. Sayılar teorisi'nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.
Asal sayılarla ilk olarak ilgilenenlerden biri Eratosthenes (M.Ö. 300) tir. Eratosthenes, erato kalburu adıyla anılan bir asal sayı bulma yöntemi geliştirmiştir.Yöntem şöyledir (Şekle bakın)10x10 luk karelerin bulunduğu tabloya 1 den 100 e kadar olan sayılar yerleştirilir. Daha sonra 2 dışında 2 nin katı olan sayılar işaretlenir ki bu sayıların asal olma şansları kalmamıştır, keza kendilerinden başka bir de 2 ye bölünmektedirler. İşaretlenmemiş sayılardan sırada 3 vardır, 3 dışında 3 ün katları işaretlenir ki bunlarda asal değildirler. Sonra beşin katları işaretlenir…. bu şekilde devam edildiğinde geriye asal sayılar kalır. Şekilde beyaz kalan yerlerdeki sayılar -Asal- sayılardır.
300 basamaklı bir asal sayı:
2039568783564019774057658669290345772801939933143482630947726464532830627227
01277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499
69836607190676644003707421711780569087279284814911202228633214487618337632651
2083574821647933992961249 917319836219304274280243803104015000563790123

29 Ocak 2008 Salı

Cebir İlmi ve Harezmi

Cebir İlmi ve Harezmi (Safvet SENİH)
Muhammed Bin Musa El Harzemî, 780 veya 795 tarihinde Hazer Denizinin doğusundaki Harzem (Aral gölünün güneyindeki bugünkü Hive) de doğmuştur. Doğum yerine izafeten El'Harzemî diye anılır. Harzemî beş fen dalına tesirli şekilde hizmet etmiştir.Harzemî, matematiğin geniş bir dalı olan cebirin temellerini atmıştır. Cebir mevzularını içine alan eseri, bütün dünyada cebir ilmine ad olmuştur. Harzemî, cebir bakımından Öklid'den 1000 yıl ileridedir. Cebirle ilglii meşhur eserinin adı: "El'Kitab'ül-Muhtasar fi Hısab'il - Cebri ve'l-Mukabele" dir. 12 asır önce yazılan bu eser cebir sistemlerine ait kaide ve teoremler ile yeni çözüm yollarını mevzu edinir. Bu eser Doğu ve Batı ilim dünyasında ilk müstakil cebir kitabı olma şerefini kazanmıştır.
El Cebr ve'l - Mukabeleyi Harzemî 830 yılında şark seyahatin dan döndüğünde Halife Memun'un isteği üzerine Arapça olarak hazırlamıştır. 1145 yılında zamanın ilim dili olan Latinceye çevrilmiş ve Müsteşrik F. Rosen tarafından "The Algebre Muhammed Bin Musa" adlı tercümesi 1831 yılında Arapça metni ile birlikte Londra'da yayınlanmıştır. Eser, medenî muâmelat, arazi Ölçümü, bina yapımı ve kanal hafriyatında rastlanan pratik meseleleri cebir yolu ile halle yarayacak karekterde umuma mahsus olarak kaleme alınmıştır.Eser, bir önsöz ile beş esas bölüm ve bir de ek bölümden meydana gelmiştir.
Birinci Kısım: Birinci ve ikinci dereceden altı ayrı tipten denklemin (muadele) geometrik yolla çözüm metodunu ihtiva eder:
1) x2 = a,
2) x2 = bx,
3) ax = b,
4) x2 + ax = b,
5) x2 + b = ax,
6) x2 = ax + b
Bu bölümün ikinci kısmında: (a ± x) ve (b ± x) gibi "Binom Formüllerinin" çarpım kaideleri de vardır.Ayrıca, ikinci dereceden tam olmayan üç ayrı tip denklemin (muadele) tamamen kendisine mahsus değişik çözüm yollan belirtilmiştir.İkinci Kısım: İkinci dereceden tam olmayan denklemlerin geometrik çözümünü mevzu edinir. Her tip denklem için iki ayrı çözüm yolu göstermiştir. Bu çözüm yollarından birincisi geometrik çözüm yolu olup, bugünkü cebirde "Kare ve dikdörtgen metodu" denmektedir. Bu çeşit bir çözüm yolunu, ne eski Mısır ve Mezepotamya, ne de eski Yunan ve eski Hind matematiğinde görmek mümkün değildir. Harzemî'nin bu çözüm şekli, matematikte cebir ile geometri arasında bir nevi yakınlık kurmayı hedef tutan araştırmanın ilk mahsulüdür.
Üçüncü Kısım: Birer terimi bilinmeyen iki terimli bir çarpanın neticesinin nasıl bulunacağını mevzu edinir. Burada, çarpanlara ayırma ve "özdeşlik" nevinden hususiyetleri görmek mümkündür :
(x + a) (x + b), (x + a) (x - b), (x - a) (x + b), (x — a) (x — b) ... çarpım durumlarını incelemiştir.
Dördüncü Kısım: gibi işlemlerin çözüm kaidelerini ve çözüm yollarını belirtir. Beşinci Kısım: Cebirle çözülebilecek bazı problemlere ayrılmıştır. İki misal verelim :
a) 10 sayısını öyle iki kısma ayırınız ki, bunların kareleri toplamı 58'e eşit olsun.
b) 10 sayısını öyle İki kısma ayırınız ki bunların kareleri farkı 40 sayısına eşit olsun.
Eserin son ek bölümünde de; devri, için gerekli olan, amelî ve tatbikî hesaplama şekilleri, zamanın hükümet işlerine ait hesapların yapılması, kanalların açılması, bina inşaatı, esnaf, tüccar ve ölçme memurları için gerekli hesapların cebirle çözüm yolları, Hint sayı işaretleri, vasiyet memurları için gerekli olan Kur'ân-ı Kerim'deki miras hukuku uygulamasını hem aritmetik hem de cebir yolu ile çözümlenecek şekilde, gerekli çözüm yollarını misalleriyle beraber gösterir.Harzemî'nin; cebir kelimesini matematiği ithâl edip, matematikte geniş bir dal olan cebiri, metodik ve sistematik hâle getiren; ikinci derece denklemlerin pozitif köklerini veren orijinal bir çözüm metodunu ilk olarak ortaya koyan; ikinci derece denklemler için, bugün "kare ve dikdörtgen metodu" denilen "grafik metodla" yani geometrik yolla çözüm yollarının, gerçekleştirilmesini cebire ilk olarak kazandıran "Kitabü'l- Cebr ve'l- Mukabele" si üzerinde bir nebze daha durarak bazı tahliller yapalım:
Cebir kelimesi Arapça'da kırık olan bir şeyi doğrultmak manasına gelir. Hattâ kırık ve çıkık olan bir uzva sarılan tahtalara cebire denilir. Matematikte cebir, bir kesri tam kılma karşılığı olarak alınmıştır. Harzemî ise, cebir ve mukabele tabirini şu mânada almıştır: Cebir, bir eşitliğin bir tarafındaki negatif işaretli terimleri diğer tarafa geçirmektir (eşitliğin her iki tarafında pozitif işaretli terimler kalacak şekilde). Mukabele ise, benzer terimlerin irca' ve ıslâhıdır.
Meselâ: Matematik tarihinde Ömer Hayyam'ın "yaklaşık kare kök formülü" adını alan münasebeti,cebir ile şeklini alır. Yukardaki formülün mukabelesi olmaz, çünkü benzer terimler yoktur. Hayyam'ın yukarıdaki formülü, (a + b)2 = a2 + (2a + b) b, özdeşliğinin yaklaşık bir ifadesi olarak aldığı anlaşılıyor.Cebir ve Mukabelenin Birinci Kısmı başta ele aldığımız gibi, "Durûbu Sitte" veya "Mesaıl-ı Sitte" dediği altı denklemin çözüm kaidelerini isbatsız olarak ihtiva eder.İkinci Kısım, İlim Tarihi bakımından en orijinal olanıdır. Bu bölümde ikinci dereceden tam olmıyan denklemlerle, aşağıdaki üç tip denklemin geometrik (ki biz buna Kare ve Dik dörtgenler metodu diyeceğiz) çözümlerinden bahsedilmektedir:
I. x2+Ax=B
II. x2 + B= Ax
III. x2 =Ax + B
Harzemî bilinmeyen mikdara Şey;
Şey'in karesine Mâl; Mâl'in Şey ile çarpımına, Kâab demiş ve bunları sırasiyle "Ş, M, K" harfleriyle göstermiştir.Şimdi bu kısmın meselelerini modern harf ve sembolleri kullanarak çözelim:I. x2+Ax=BBu denklem için Harzemî'nin verdiği misal: Bir Mâl ile 10 Şey' toplamının 39 dirheme eşitliğini temin edecek şeyin belirtilmesi yani x2+10x=39 denkleminin çözümünün tayinidir. Harzemî, yukarda-ki üç tip meselenin çözümü için ayni geometrik metodu kullanmıştır. Şöyleki; daima mâlum farz olunan Mâl, bir kare ile temsil olunur ve verilen denklemin şartlarına (kat sayılarına) göre, Şey' belirtilir. Harzemî verilen denklemi iki tarzda çözmüştür.
Birinci tarz: Farzedelim ki Mâl, ABCD karesiyle gösterilmiş olsun. Bu karenin kenar uzunlukları Şey'e eşit olacaktır. Şekilde DK'yı, Şey'in yanındaki sayı (katsayı) olan 10'un dörtte birine eşit olarak (DKLC), (CMNB), (BOPA), (ARSD) gibi birbirine eşit dört dikdörtgen çizelim. Bundan başka şeklîn A, B, C, D köşelerinde meydana gelen dört küçük karenin alanları toplamı: olacağı gibi, yeni meydana gelen karesinin alanı da 39 + 25 = 64 olur; yani bu karenin bir kenarının uzunluğu 8'e eşittir. Çünkü verilmiş denklem, x2 + 10 x = 39 dur. Bu neticeye göre Şey' ile 5 sayısının toplamı 8'e eşit olur. Yani x + 5 = 8 denklemi yazılır. (Çünkü x + 5 = 8 dir). O halde aranılan Şey' (bilinmeyen) x = 3 tür. Bu metod gösteriyor ki Şey'i veren formül: dür.
I. Meselenin II. Tarz Çözümü: Bu metodda Mâl yine (ABCD) karesi ve Şey'de kenarlardan biridir. Bu sefer CK ve AE uzunluktan denklemdeki 10 kat sayısının yarısına eşit alınır ve (CKJB) ile (AEFB) dikdörtgenleri teşkil olunur. Buna göre şekilde taranmış alanlar toplamı x2 ile 10 x toplamına, yani 39'a eşit olur ve Kare (ABCD) + 2 Dikdörtgen (BCKJ) = 39 yazılır.
Diğer taraftan, şeklin köşesinde meydana gelen (FBJI) karesi —ki alanı 25V eşittir— de taranmış alanlara ilâve edilmekte, 39 + 25 = 64 Alan (EDKI karesi) eşitliğe yazılır ve ED = 8 bulunmuş olur. O halde aranılan Şey': 8 — 5=3 den ibarettir.II. Kısım II Mesele: x2 + B = Ax denklemi: Harzemî; bu mesele için Mâl ile 21 dirhem toplamının 10 Şey'e eşit olması misalini vermiştir. (Yani, x2 + 21 = 10 x denklemi).
Burada Mâl'i temsil eden kare (ABCD) olsun. Yani Şey' = X = AB alalım. Şimdi, bir kenarı, bilinmeyene eşit farzolunun (DEFC) dikdörtgeninin alanını, denklemdeki mutlak sayı olan 21 dirheme eşit alalım. Bu halde (AEFB) dikdörtgeninin alanı x2 + 21'e eşit olacağından verilen x2 + 21 = 10 x denklemi kurulur. (AEFB) dikdörtgeninin bir kenarının uzunluğu x olduğundan diğer kenarın uzunluğu 10'a eşittir. (Yani BF = 10 dur)
Şimdi de, BF'nin orta noktası K olmak üzere (LEMN) karesini çizelim, bu karenin alanı 25'e eşittir. Bundan sonra da FP'yi AD'ye eşit alıp (PFMR) dikdörtgenini teşkil edelim, bunun alanının, (DLKC) dikdörtgeninin alanına eşitliği aşikârdır. Şekildeki (KPRN) karesine gelince onun da alanı: 25 — 21 =4 tür. (DEFC) Alan (KLEFMRPK) = 21, ve Alan (NLEM) =25 olduğundan, Alan (KPRN) = 25 - 21 = 4 olur.
Bu meselede de görülüyor ki, verilen denklemi tahkik eden 3 değeri, formülü ile bulunmuş oluyor. (Klâsik 2. derece denklem formülünün tek işaretli hâli).II. Kısım III. Meselesi: Bu meselede denklemin tipi X2 = AX + B dir. Harezmî'nin verdiği nümerik misal, 3 Şey' ile 4 dirhemin bir Mâl'e eşit olması, yani X2 = 3X + 4 denkleminin çözümüdür. Burada da X2 yi temsil eden şekil (ABCD) karesi ve aranılan Şev' de AB uzunluğudur. Karenin AB kenan üzerinde BK = 3 (Şey' in katsayısı olan 3) alalım. Bu suretle teşkil olunacak (KTCB) dikdörtgeninin alanı; 3X eşit olacağı gibi (ADTK) dik dörtgeninin alanı da 4'e (denklemdeki mutlak sayı) eşit olur, çünkü verilen denklem, 3X + 4 = X2 dir.Şimdi KB nin N orta noktasını işaret etmek suretiyle (KLMN) karesini çizelim, bu karenin alanı: olur.
Aynı suretle, bir kenan AN olan (ARSN) karesini teşkil edelim, meydana gelen (RDTP) dik dörtgeni, (LPSM) dik dörtgenine eşit olur. Çünkü, RD kenarı NB ye veya KN ye veyahut da LM'ye eşittir. RP kenarı ise LP ye eşittir. Çünkü her ikisi de AN-KN'ye eşittir. (Şekil 4)O halde (ARSN) karesinin alanı, (ADTK) dikdörtgeni ile (KLMN) karesinin alanı toplamına eşit olur. Bundan dolayı (ARSN) Haresinin alanı: olacağından bunun bir kenarı olan AN de, olur.Aranılan Şey1 AB uzunluğu olduğundan eşitliği bulunur.
Görülüyor ki bu çizim yolu ile x bilinmeyenini vermek üzere: formülü kullanılmış demektir.Görüldüğü gibi Harzemî ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren orjinal bir çözüm metodu bulmuştur. Çünkü kendisinden önce birçok ilim adamı bu mevzuda çalışmalar yapmıştır. Kısaca hülasa edersek: I. Hippocrates (M.Ö. 460),denkleminin çözümünü veren geometrik bir yol göstermiştir II. Menaechmus (MÖ. 350), X3 =k kübik denklemini, y2 = bx, xy = ab (parabol, hiperbollerin kesiştirilmesiyle çözmüştür.
III. Euclid (M.Ö. 300), x2 + ax = a ve x2 + ax = b2 denklemlerini geometrik metodla çözmüştür.VI. Archimedes (MÖ. 215), (De Sphaera et Cylindro, Lib, II) de, küreye dair bir problemi çözerken, orantısına veya, x3 + c2 b = cx2 kübik denklemine rastlamıştır.V. Heron (M.S. 50), 144 x (14 -x) = 6720 denklemini çözmüştür.VI. İzmirli Theon (MS. 125), x2 — 2y2 = 1, belirsiz denkleminin çözümü için bir kaide vermiştir.VII. Diophantus (M.S. 275), x3 + x = 4x + 4 denklemini çözmüş ve bazı belirsiz ikinci derece denklemlerini (x2 —Ay2 = 1, tipinde) hal ve münakaşa etmiştir.
VIII. Aryabhatta (M.S. 510), ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren formülü bulmuştur.IX. Eutocius (M. S. 560), x3 + c2 b = cx2 denkleminikoniklerinin kesiştirilmesi yolu ne çözmüştür.Harzemînin ise (M.S. 825) adı geçen bu meşhur eserinde, Cebirde sembolizm ve ikinci derece denklemlerin çözümleri için Rönesans matematikçilerine, ikinci derece cebrine dair yapılacak büyük işler bırakmayacak kadar sistematik çalışmaları vardır.

Tarihte Bugün

Programlar


Zeka Küpünde Dünya Rekoru

Hiç Böyle Çarpma Gördünüzmü?

Napier Yöntemiyle Çarpma

Cem Yılmazdan Matematik

Son Dakika (Spor)