Cebir İlmi ve Harezmi

Cebir İlmi ve Harezmi (Safvet SENİH)

Muhammed Bin Musa El Harzemî, 780 veya 795 tarihinde Hazer Denizinin doğusundaki Harzem (Aral gölünün güneyindeki bugünkü Hive) de doğmuştur. Doğum yerine izafeten El'Harzemî diye anılır. Harzemî beş fen dalına tesirli şekilde hizmet etmiştir.Harzemî, matematiğin geniş bir dalı olan cebirin temellerini atmıştır. Cebir mevzularını içine alan eseri, bütün dünyada cebir ilmine ad olmuştur. Harzemî, cebir bakımından Öklid'den 1000 yıl ileridedir. Cebirle ilglii meşhur eserinin adı: "El'Kitab'ül-Muhtasar fi Hısab'il - Cebri ve'l-Mukabele" dir. 12 asır önce yazılan bu eser cebir sistemlerine ait kaide ve teoremler ile yeni çözüm yollarını mevzu edinir. Bu eser Doğu ve Batı ilim dünyasında ilk müstakil cebir kitabı olma şerefini kazanmıştır.

El Cebr ve'l - Mukabeleyi Harzemî 830 yılında şark seyahatin dan döndüğünde Halife Memun'un isteği üzerine Arapça olarak hazırlamıştır. 1145 yılında zamanın ilim dili olan Latinceye çevrilmiş ve Müsteşrik F. Rosen tarafından "The Algebre Muhammed Bin Musa" adlı tercümesi 1831 yılında Arapça metni ile birlikte Londra'da yayınlanmıştır. Eser, medenî muâmelat, arazi Ölçümü, bina yapımı ve kanal hafriyatında rastlanan pratik meseleleri cebir yolu ile halle yarayacak karekterde umuma mahsus olarak kaleme alınmıştır.Eser, bir önsöz ile beş esas bölüm ve bir de ek bölümden meydana gelmiştir.

Birinci Kısım: Birinci ve ikinci dereceden altı ayrı tipten denklemin (muadele) geometrik yolla çözüm metodunu ihtiva eder:

1) x2 = a,

2) x2 = bx,

3) ax = b,

4) x2 + ax = b,

5) x2 + b = ax,

6) x2 = ax + b

Bu bölümün ikinci kısmında: (a ± x) ve (b ± x) gibi "Binom Formüllerinin" çarpım kaideleri de vardır.Ayrıca, ikinci dereceden tam olmayan üç ayrı tip denklemin (muadele) tamamen kendisine mahsus değişik çözüm yollan belirtilmiştir.İkinci Kısım: İkinci dereceden tam olmayan denklemlerin geometrik çözümünü mevzu edinir. Her tip denklem için iki ayrı çözüm yolu göstermiştir. Bu çözüm yollarından birincisi geometrik çözüm yolu olup, bugünkü cebirde "Kare ve dikdörtgen metodu" denmektedir. Bu çeşit bir çözüm yolunu, ne eski Mısır ve Mezepotamya, ne de eski Yunan ve eski Hind matematiğinde görmek mümkün değildir. Harzemî'nin bu çözüm şekli, matematikte cebir ile geometri arasında bir nevi yakınlık kurmayı hedef tutan araştırmanın ilk mahsulüdür.

Üçüncü Kısım: Birer terimi bilinmeyen iki terimli bir çarpanın neticesinin nasıl bulunacağını mevzu edinir. Burada, çarpanlara ayırma ve "özdeşlik" nevinden hususiyetleri görmek mümkündür :

(x + a) (x + b), (x + a) (x - b), (x - a) (x + b), (x — a) (x — b) ... çarpım durumlarını incelemiştir.

Dördüncü Kısım: gibi işlemlerin çözüm kaidelerini ve çözüm yollarını belirtir. Beşinci Kısım: Cebirle çözülebilecek bazı problemlere ayrılmıştır. İki misal verelim :

a) 10 sayısını öyle iki kısma ayırınız ki, bunların kareleri toplamı 58'e eşit olsun.

b) 10 sayısını öyle İki kısma ayırınız ki bunların kareleri farkı 40 sayısına eşit olsun.

Eserin son ek bölümünde de; devri, için gerekli olan, amelî ve tatbikî hesaplama şekilleri, zamanın hükümet işlerine ait hesapların yapılması, kanalların açılması, bina inşaatı, esnaf, tüccar ve ölçme memurları için gerekli hesapların cebirle çözüm yolları, Hint sayı işaretleri, vasiyet memurları için gerekli olan Kur'ân-ı Kerim'deki miras hukuku uygulamasını hem aritmetik hem de cebir yolu ile çözümlenecek şekilde, gerekli çözüm yollarını misalleriyle beraber gösterir.Harzemî'nin; cebir kelimesini matematiği ithâl edip, matematikte geniş bir dal olan cebiri, metodik ve sistematik hâle getiren; ikinci derece denklemlerin pozitif köklerini veren orijinal bir çözüm metodunu ilk olarak ortaya koyan; ikinci derece denklemler için, bugün "kare ve dikdörtgen metodu" denilen "grafik metodla" yani geometrik yolla çözüm yollarının, gerçekleştirilmesini cebire ilk olarak kazandıran "Kitabü'l- Cebr ve'l- Mukabele" si üzerinde bir nebze daha durarak bazı tahliller yapalım:

Cebir kelimesi Arapça'da kırık olan bir şeyi doğrultmak manasına gelir. Hattâ kırık ve çıkık olan bir uzva sarılan tahtalara cebire denilir. Matematikte cebir, bir kesri tam kılma karşılığı olarak alınmıştır. Harzemî ise, cebir ve mukabele tabirini şu mânada almıştır: Cebir, bir eşitliğin bir tarafındaki negatif işaretli terimleri diğer tarafa geçirmektir (eşitliğin her iki tarafında pozitif işaretli terimler kalacak şekilde). Mukabele ise, benzer terimlerin irca' ve ıslâhıdır.

Meselâ: Matematik tarihinde Ömer Hayyam'ın "yaklaşık kare kök formülü" adını alan münasebeti,cebir ile şeklini alır. Yukardaki formülün mukabelesi olmaz, çünkü benzer terimler yoktur. Hayyam'ın yukarıdaki formülü, (a + b)2 = a2 + (2a + b) b, özdeşliğinin yaklaşık bir ifadesi olarak aldığı anlaşılıyor.Cebir ve Mukabelenin Birinci Kısmı başta ele aldığımız gibi, "Durûbu Sitte" veya "Mesaıl-ı Sitte" dediği altı denklemin çözüm kaidelerini isbatsız olarak ihtiva eder.İkinci Kısım, İlim Tarihi bakımından en orijinal olanıdır. Bu bölümde ikinci dereceden tam olmıyan denklemlerle, aşağıdaki üç tip denklemin geometrik (ki biz buna Kare ve Dik dörtgenler metodu diyeceğiz) çözümlerinden bahsedilmektedir:

I. x2+Ax=B

II. x2 + B= Ax

III. x2 =Ax + B

Harzemî bilinmeyen mikdara Şey;

Şey'in karesine Mâl; Mâl'in Şey ile çarpımına, Kâab demiş ve bunları sırasiyle "Ş, M, K" harfleriyle göstermiştir.Şimdi bu kısmın meselelerini modern harf ve sembolleri kullanarak çözelim:I. x2+Ax=BBu denklem için Harzemî'nin verdiği misal: Bir Mâl ile 10 Şey' toplamının 39 dirheme eşitliğini temin edecek şeyin belirtilmesi yani x2+10x=39 denkleminin çözümünün tayinidir. Harzemî, yukarda-ki üç tip meselenin çözümü için ayni geometrik metodu kullanmıştır. Şöyleki; daima mâlum farz olunan Mâl, bir kare ile temsil olunur ve verilen denklemin şartlarına (kat sayılarına) göre, Şey' belirtilir. Harzemî verilen denklemi iki tarzda çözmüştür.

Birinci tarz: Farzedelim ki Mâl, ABCD karesiyle gösterilmiş olsun. Bu karenin kenar uzunlukları Şey'e eşit olacaktır. Şekilde DK'yı, Şey'in yanındaki sayı (katsayı) olan 10'un dörtte birine eşit olarak (DKLC), (CMNB), (BOPA), (ARSD) gibi birbirine eşit dört dikdörtgen çizelim. Bundan başka şeklîn A, B, C, D köşelerinde meydana gelen dört küçük karenin alanları toplamı: olacağı gibi, yeni meydana gelen karesinin alanı da 39 + 25 = 64 olur; yani bu karenin bir kenarının uzunluğu 8'e eşittir. Çünkü verilmiş denklem, x2 + 10 x = 39 dur. Bu neticeye göre Şey' ile 5 sayısının toplamı 8'e eşit olur. Yani x + 5 = 8 denklemi yazılır. (Çünkü x + 5 = 8 dir). O halde aranılan Şey' (bilinmeyen) x = 3 tür. Bu metod gösteriyor ki Şey'i veren formül: dür.

I. Meselenin II. Tarz Çözümü: Bu metodda Mâl yine (ABCD) karesi ve Şey'de kenarlardan biridir. Bu sefer CK ve AE uzunluktan denklemdeki 10 kat sayısının yarısına eşit alınır ve (CKJB) ile (AEFB) dikdörtgenleri teşkil olunur. Buna göre şekilde taranmış alanlar toplamı x2 ile 10 x toplamına, yani 39'a eşit olur ve Kare (ABCD) + 2 Dikdörtgen (BCKJ) = 39 yazılır.

Diğer taraftan, şeklin köşesinde meydana gelen (FBJI) karesi —ki alanı 25V eşittir— de taranmış alanlara ilâve edilmekte, 39 + 25 = 64 Alan (EDKI karesi) eşitliğe yazılır ve ED = 8 bulunmuş olur. O halde aranılan Şey': 8 — 5=3 den ibarettir.II. Kısım II Mesele: x2 + B = Ax denklemi: Harzemî; bu mesele için Mâl ile 21 dirhem toplamının 10 Şey'e eşit olması misalini vermiştir. (Yani, x2 + 21 = 10 x denklemi).

Burada Mâl'i temsil eden kare (ABCD) olsun. Yani Şey' = X = AB alalım. Şimdi, bir kenarı, bilinmeyene eşit farzolunun (DEFC) dikdörtgeninin alanını, denklemdeki mutlak sayı olan 21 dirheme eşit alalım. Bu halde (AEFB) dikdörtgeninin alanı x2 + 21'e eşit olacağından verilen x2 + 21 = 10 x denklemi kurulur. (AEFB) dikdörtgeninin bir kenarının uzunluğu x olduğundan diğer kenarın uzunluğu 10'a eşittir. (Yani BF = 10 dur)

Şimdi de, BF'nin orta noktası K olmak üzere (LEMN) karesini çizelim, bu karenin alanı 25'e eşittir. Bundan sonra da FP'yi AD'ye eşit alıp (PFMR) dikdörtgenini teşkil edelim, bunun alanının, (DLKC) dikdörtgeninin alanına eşitliği aşikârdır. Şekildeki (KPRN) karesine gelince onun da alanı: 25 — 21 =4 tür. (DEFC) Alan (KLEFMRPK) = 21, ve Alan (NLEM) =25 olduğundan, Alan (KPRN) = 25 - 21 = 4 olur.

Bu meselede de görülüyor ki, verilen denklemi tahkik eden 3 değeri, formülü ile bulunmuş oluyor. (Klâsik 2. derece denklem formülünün tek işaretli hâli).II. Kısım III. Meselesi: Bu meselede denklemin tipi X2 = AX + B dir. Harezmî'nin verdiği nümerik misal, 3 Şey' ile 4 dirhemin bir Mâl'e eşit olması, yani X2 = 3X + 4 denkleminin çözümüdür. Burada da X2 yi temsil eden şekil (ABCD) karesi ve aranılan Şev' de AB uzunluğudur. Karenin AB kenan üzerinde BK = 3 (Şey' in katsayısı olan 3) alalım. Bu suretle teşkil olunacak (KTCB) dikdörtgeninin alanı; 3X eşit olacağı gibi (ADTK) dik dörtgeninin alanı da 4'e (denklemdeki mutlak sayı) eşit olur, çünkü verilen denklem, 3X + 4 = X2 dir.Şimdi KB nin N orta noktasını işaret etmek suretiyle (KLMN) karesini çizelim, bu karenin alanı: olur.

Aynı suretle, bir kenan AN olan (ARSN) karesini teşkil edelim, meydana gelen (RDTP) dik dörtgeni, (LPSM) dik dörtgenine eşit olur. Çünkü, RD kenarı NB ye veya KN ye veyahut da LM'ye eşittir. RP kenarı ise LP ye eşittir. Çünkü her ikisi de AN-KN'ye eşittir. (Şekil 4)O halde (ARSN) karesinin alanı, (ADTK) dikdörtgeni ile (KLMN) karesinin alanı toplamına eşit olur. Bundan dolayı (ARSN) Haresinin alanı: olacağından bunun bir kenarı olan AN de, olur.Aranılan Şey1 AB uzunluğu olduğundan eşitliği bulunur.

Görülüyor ki bu çizim yolu ile x bilinmeyenini vermek üzere: formülü kullanılmış demektir.Görüldüğü gibi Harzemî ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren orjinal bir çözüm metodu bulmuştur. Çünkü kendisinden önce birçok ilim adamı bu mevzuda çalışmalar yapmıştır. Kısaca hülasa edersek: I. Hippocrates (M.Ö. 460),denkleminin çözümünü veren geometrik bir yol göstermiştir II. Menaechmus (MÖ. 350), X3 =k kübik denklemini, y2 = bx, xy = ab (parabol, hiperbollerin kesiştirilmesiyle çözmüştür.

III. Euclid (M.Ö. 300), x2 + ax = a ve x2 + ax = b2 denklemlerini geometrik metodla çözmüştür.VI. Archimedes (MÖ. 215), (De Sphaera et Cylindro, Lib, II) de, küreye dair bir problemi çözerken, orantısına veya, x3 + c2 b = cx2 kübik denklemine rastlamıştır.V. Heron (M.S. 50), 144 x (14 -x) = 6720 denklemini çözmüştür.VI. İzmirli Theon (MS. 125), x2 — 2y2 = 1, belirsiz denkleminin çözümü için bir kaide vermiştir.VII. Diophantus (M.S. 275), x3 + x = 4x + 4 denklemini çözmüş ve bazı belirsiz ikinci derece denklemlerini (x2 —Ay2 = 1, tipinde) hal ve münakaşa etmiştir.

VIII. Aryabhatta (M.S. 510), ikinci derece denklemlerinin pozitif köklerini veren formülü bulmuştur.IX. Eutocius (M. S. 560), x3 + c2 b = cx2 denkleminikoniklerinin kesiştirilmesi yolu ne çözmüştür.Harzemînin ise (M.S. 825) adı geçen bu meşhur eserinde, Cebirde sembolizm ve ikinci derece denklemlerin çözümleri için Rönesans matematikçilerine, ikinci derece cebrine dair yapılacak büyük işler bırakmayacak kadar sistematik çalışmaları vardır.